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奇异值分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition)是线性代数中一种重要的矩阵分解,奇异值分解则是特征分解在任意矩阵上的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。 

奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性,但还是有明显的不同。谱分析的基础是对称阵特征向量的分解,而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 

假设M是一个m×n阶矩阵,其中的元素全部属于域 K,也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵;Σ是半正定m×n阶对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,其中Σi即为M的奇异值。

常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定)

直观的解释

在矩阵M的奇异值分解中

·U的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是MM*的特征向量。

·V的列(columns)组成一套对M的正交"输出"的基向量。这些向量是M*M的特征向量。

·Σ对角线上的元素是奇异值,可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是M*M及MM*的奇异值,并与U和V的列向量相对应。

奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下 :

其中向量u 和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

对于任意的奇异值分解,矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值。U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此,上述定理表明:

(1)一个m × n的矩阵至多有 p = min(m,n)个不同的奇异值;

(2)总是可以找到在Km 的一个正交基U,组成M的左奇异向量;

(3)总是可以找到和Kn的一个正交基V,组成M的右奇异向量。

如果一个奇异值中可以找到两个左(或右)奇异向量是线性相关的,则称为退化。

非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量,取决于所乘的单位相位因子eiφ(根据实际信号)。因此,如果M的所有奇异值都是非退化且非零,则它的奇异值分解是唯一的,因为U中的一列要乘以一个单位相位因子且同时V中相应的列也要乘以同一个相位因子。

根据定义,退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为,如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量,则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量,类似的,右奇异向量也具有相同的性质。因此,如果M 具有退化的奇异值,则它的奇异值分解是不唯一的。

因为UV 向量都是单位化的向量, 我们知道U的列向量u1,...,um组成了K空间的一组标准正交基。同样,V的列向量v1,...,vn也组成了K空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则)。

线性变换T:即KK,把向量Nx变换为Mx。考虑到这些标准正交基,这个变换描述起来就很简单了:T(vi) = σi ui, for i = 1,...,min(m,n),其中σi 是对角阵Σ中的第i个元素;当i > min(m,n)时,T(vi) = 0。

这样,SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳:对于每一个线性映射T: KKTK的第i个基向量映射为K的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量,映射T就可以表示为一个非负对角阵。

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵 M 的奇异值分解为

其中

把频率选择性衰落信道进行分解。

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析(PCA),一种数据分析方法,用来找出大量数据中所隐含的“模式”,它可以用在模式识别,数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。 数据集的特征值(在SVD中用奇异值表征)按照重要性排列,降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程,而剩下的特征向量组成的空间即为降维后的空间。

几种编程语言中计算SVD的函式范例

matlab:

[b c d]=svd(x)

OpenCV:

void cvSVD( CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0 )



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